3.2. Test de comparaison de deux moyennes
C'est un test d'égalité ou d'homogénéité.
Deux populations P1 et P2 , de moyennes inconnues µ1 et µ2, sont représentées par deux échantillons d'effectifs n1 et n2.
Les moyennes µ1 et µ2, sont estimées à l'aide des moyennes m1 et m2 des échantillons.
3.2.1. Grands échantillons
On considérera être dans cette situation lorsque les variances des populations ont été estimées avec un nombre de degrés de liberté supérieur à 30 dans chaque échantillon.
Conditions de validité
Pas de conditions particulières.
Fonction discriminante
Elle est définie par l'écart réduit entre les moyennes observées m1 et m2. La loi de distribution théorique d'échantillonnage qui décrit la distribution de cet écart réduit est en principe la loi de Student (on a estimé les variances) mais en pratique, on utilisera la loi Normale (approximation de la loi de Student pour les grands échantillons et qui permet de ne pas faire d'hypothèse sur la distribution du caractère quantitatif dans les populations) :
Hypothèses
H0 : µ=µT
H1 : µ ≠ µT
Sous H0, la variable ε suit une loi Normale centrée réduite.
Conclusions du test
La valeur calculée de ε est comparée à la valeur de εα, valeur de ε lue dans la table de la loi Normale au risque α .
Si |ε|>εα , on rejette H0. Au risque α, on conclut que les moyennes des populations d'où sont sortis les échantillons diffèrent significativement entre elles.
Si ε appartient à [-εα;+εα], on accepte H0. On ne peut pas conclure à une différence significative.
3.2.2.Un, au moins des échantillons est petit (n<30)
Conditions de validité
On est amené à supposer (ou démontrer) que le caractère quantitatif étudié suit une loi Normale dans les populations. Il faut aussi que les variances soient identiques dans les 2 populations. Ce dernier point peut être analysé par une comparaison de variance (test F de Fisher) qui ne sera pas détaillée dans ce cours.
Fonction discriminante
On estime tout d'abord une variance commune :
On calcule ensuite la valeur de t (variable de Student) à l'aide de la formule :
Hypothèses
H0 : µ=µT
H1 : µ ≠ µT
Sous H0, la variable t suit une loi de Student .
Conclusions du test
La valeur calculée de t est comparée à la valeur de tα, valeur de t lue dans la table de la loi de Student au risque α et avecn1+n2-2 degrés de liberté.
Si |t|>tα, on rejette H0. Au risque α, on conclut que la moyenne des populations d'où sont sortis les échantillons diffère significativement entre elles.
Si t appartient à [-tα;+tα], on accepte H0. On ne peut pas conclure à une différence significative.
